ニック

つまり、剰余の定理が因数定理の根本であるのだから、P(k)＝0から、P(x)を(x-k)で割ったんだなということがわかり(xにkを代入したことから)P(k)(＝余り)が0なのだからRは0になる。つまり、わるかず×商のみになる。ということは、P(k)＝0ならばP(x)は(x-k)で割り切れる。ここまで理解できて、初めて因数定理がほかの問題(例えば、高次方程式)でも使えるのではないですか？

自分で理解できているのであればいいのではないてしょうか？あと定理は定理であり、定義ではないので、解答に「剰余の定理より」などとは書かなくていいです。おっしゃっている通り、定理なので使うときは理解しておかなければいけません。もっというと、剰余の定理を習っていなくてもその内容が分かっていればなんの迷いもなく使えるはずです。